Ну и название - на нашу Анапу похоже. Нет, и не бывал я там и даже не слышал про такой город. Если хвалят, то значит есть за что.

А где бы туда путёвочку купить?

А в какой город планируете на Кипре посетить, тоже отправитесь в Айя-Напа? Отдыхал когда-то там, правда давненько это уже было, но впечатления до сих пор остались только положительные. Хотелось бы конечно еще там побывать, но пока нет такой возможности, но может ближе к зиме получится туда выбраться. А что касается туристического агентства, так в Екатеринбурге их достаточно, вот например можете посмотреть информацию по поводу покупки туров здесь https://www.clubwings.ru/

Я бы на вашем месте не стала переплачивать турагентствам и организовала бы отдых самостоятельно. Туристическая инфраструктура на Кипре развита отлично, поэтому проблем никаких не должно быть. Оформить визу туда несложно, билеты можно заказать онлайн, из Москвы и Питера авиарейсы в этом направлении регулярные. С жильем тоже проблем быть не должно. Можно отель забронировать, на трипэдвайзере можно почитать отзывы. Или же есть еще вариант аренды жилья через airbnb, вот тут подробно описано как это сделать https://www.gorealtor.ru/airbnb-arenda-zhilya/. Можно выбрать домик на побережье, или аппартаменты. Я бы еще машину в аренду взяла, чтобы можно было попутешествовать по окрестностям. Только учтите, что на Кипре левостороннее движение