2 = 1
В Бруклине, в математической школе для одарённых детей шёл урок алгебры. Это был класс учеников выше среднего уровня во всех отношениях — как в смысле их возраста, так и в смысле их прогресса в освоении наук. У мальчиков начинал ломаться голос, девочки начинали брить подмышки, и все они шагнули в постижении математики так далеко, что наизусть знали таблицу умножения до четырёх. Теперь они с упоением погружались в холодные глубины алгебры. Они уже усвоили, что если a = b, то b = a, и это придавало им чувство избранности и приближения к абсолютной истине.
Учитель был полноватый, средних лет мужчина с матовой плешью, грустными бесцветными глазами и тяжёлым русским акцентом. Он страстно любил математику и надеялся, что эта страсть передастся кому-нибудь из его одарённых недоумков. Ученики почтительно называли его мистер Зайтлайн, а друзья запросто — Борька Цейтлин (о чём ученики, разумеется, не знали).
К середине урока, когда мальчикам надоело играть в морской бой, а девочкам надоело красить ногти, учитель неожиданно сказал нечто такое, что привлекло их внимание.
– Сейчас, – сказал учитель, – я вам докажу, что два равно одному.
Класс затих, и учитель, воспользовавшись паузой, добавил:
– Тот, кто найдёт ошибку в моём доказательстве, получит “А”.
Класс молчал, напуганный неожиданным вызовом. В наступившей тишине раздался писклявый голос отличницы Брехман:
– Мистер Зайтлайн, по-моему, два не равно одному. Два больше.
– Правильно, – сказал учитель. – Отличное наблюдение. Два действительно больше, чем один. Но вы должны это доказать, то есть опровергнуть моё доказательство. Понятно? Итак, начнём. Для начала, предположим, что “а” равно “бэ”.
Он повернулся к доске и написал:
а = b
– Откуда вы знаете? – раздался с задней парты ломающийся голос отличника Гойскера.
– Откуда я знаю что?
– Что “а” равно “бэ”.
– Прекрасный вопрос, – кисло сказал учитель. – Я не знаю. Но я допустил. Если вы заметили, я сказал: предположим, что “а” равно “бэ”.
– Предположим, что директора на завуча положим, – сказал отличник Рабунский, обводя класс победным взором.
Класс взорвался от хохота. Директор школы был пожилой мужчина, завуч была молодая женщина, так что, класс по достоинству оценил остроту Рабунского.
Дождавшись, когда ученики успокоятся, учитель продолжал:
– Умножаем обе части уравнения на “а”. Получается...
Он написал:
a х a = a х b, то есть
a 2 = ab
Класс молчал.
– Отнимаем от обеих частей уравнения “бэ” - квадрат, – сказал учитель и написал:
a 2 – b 2 = ab – b 2
Класс молчал.
– А теперь… – сказал учитель, не в силах сдержать счастливой улыбки, – кто может сказать, что мы теперь делаем?
– Идём домой смотреть хоккей, – сказал отличник Рабунский. – Он явно был сегодня в ударе.
– Правильно, – сказал учитель. – Но не сейчас. До конца урока ещё пятнадцать минут. А пока продолжим доказательство. Что у нас в левой части уравнения? Разность квадратов члена “а” и члена “бэ”, правильно? Чему равна разность квадратов? Она равна произведению суммы членов на их разность. А что в правой части? Общий множитель “бэ”, который мы выносим за скобки. Преобразуем уравнение. Получается…
Он написал:
(a + b)(a – b) = b(a – b)
– Понятно?
– Понятно, сказал остряк Рабунский. – Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Класс потряс новый взрыв ликования. Учитель понял, что на этот раз не дождётся тишины. В его распоряжении оставалось шесть минут.
– Сокращаем обе части уравнения на “а” минус “бэ”, – прокричал он, перекрывая ликующий гогот. – Получается…
Он написал:
a + b = b
Гогот не стихал. Учитель продолжал писать, одновременно выкрикивая:
– Так как “а” и “бэ” равны, заменяем в левой части “а” на “бэ”. Получатся…
Он написал:
b + b = b, то есть
2b = b
– Сокращаем на “бэ”. Получается:
2 = 1
Последнюю строчку, стуча мелом по доске, он написал крупными цифрами и подчеркнул. Класс замолк, испуганно глядя на доску. Даже хулиган Рабунский на время притих. Учитель сказал, не скрывая своего торжества:
– Ну, кто может найти ошибку в доказательстве?
Отличница Линда Брехман подняла руку и сказала:
– Я знаю, где ошибка. Ошибка заключается в том, что на самом деле два не равно одному.
Учитель погрустнел.
– Правильно, Линда – сказал он со вздохом. – Ты это уже говорила. Конечно, они не равны. Значит, в моём доказательстве есть ошибка. И вы должны её найти.
В разговор неожиданно вмешался отличник Гойскер:
– Мистер Зайтлайн, если в доказательстве есть ошибка, зачем вы нам его показываете? Мы пришли сюда учить правильную математику, а не ошибочную.
– Замечательная мысль, – сказал учитель. – Это такое упражнение. Шутка. Если вы найдёте ошибку, вы будете знать, как её избежать в вашей дальнейшей жизни.
Прозвенел звонок, и ученики ринулись на выход. В классе осталась одна отличница Брехман.
– Мистер Зайтлайн, – сказала она, подойдя к учителю, – это очень странно, что два равно одному. Это правда шутка?
– Правда.
– А в чём ошибка вашего доказательства? В том, что на самом деле “а” и “бэ” не равны?
– Равны, равны, – сказал учитель, собирая портфель.
– Тогда в чём ошибка? Скажите по секрету, мистер Зайтлайн. Я никому не скажу, что вы мне сказали.
– Не могу, Линда. Это будет нечестно по отношению к остальным ученикам.
– Ну, пожалуйста, мистер Зайтлайн! Я же никому не скажу!
– Извини, Линда, не могу.
– Какой вы вредный! – сквозь слёзы пропищала отличница Брехман. Я на вас пожалуюсь моему папе.
Она выскочила из класса, демонстративно хлопнув дверью.
Следующий день прошёл спокойно. Ни учитель, ни отличники не вспоминали о вчерашней коварной теореме. В конце дня учителя вызвал директор школы.
– Привет, Борис, присаживайся, – сказал он. – Слушай, что у тебя вчера произошло в классе? Мне звонили несколько обеспокоенных родителей. Они говорят, что ты травмируешь детей.
– Вчера? – переспросил учитель, пытаясь вспомнить, что такого страшного он вчера натворил. – А, да! Я им доказал, что два равно одному.
– Ты с ума сошёл! – испугался директор. – Как можно такие вещи доказывать несовершеннолетним детям! Ведь на самом деле два гораздо больше, чем один!
– Я знаю, что больше. Это была шутка. Я хотел проверить их знания основ математики.
– Ты им сказал, что это шутка?
– Сказал.
– Ну, тогда ладно. – Директор с облегчением перевёл дух. – Ты смотри, будь осторожен. А то нас засудят.
Прошло ещё две недели, и опасная математическая шутка была окончательно забыта. Никто из отличников (а все ученики этой школы были отличниками) не вспомнил о ней и не попытался её разоблачить, чтобы получить “А”. На третью неделю учителя снова вызвал директор школы. Он был мрачен, как похоронное бюро. Закрыв дверь кабинета, он предложил учителю сесть и швырнул перед ним письмо на плотной, палевого цвета бумаге. Письмо было из местной юридической фирмы “Оркин, Соркин и Дворкин”. Оно гласило:
“Наша компания представляет интересы родителей учеников вашей школы. В связи с инцидентом, произошедшим недавно в седьмом классе на уроке математики, мы бы хотели встретиться с учителем, мистером Зайтлайном, чтобы получить его показания о вышеупомянутом инциденте. Вы можете назначить день и время встречи. Искренне ваш – А. Оркин”.
Мистер Оркин явился на следующий день после окончания уроков. Его сопровождали Соркин, Дворкин и две секретарши. Интервью проходило в кабинете директора. Вопросы задавал самый молодой, мистер Дворкин. Остальные молча записывали. Для начала мистер Дворкин уточнил имя, фамилию, адрес и год рождения учителя. Затем он сказал:
– Мистер Зайтлайн, повторите, пожалуйста, что вы объявили ученикам на уроке математики пятого октября?
– Что два равно одному.
– Известно ли вам, что на самом деле два не равно одному?
– Почему вы так думаете?
– Мистер Зайтлайн, позвольте, я буду задавать вопросы. Признаёте ли вы, что преднамеренно ввели своих учеников в заблуждение?
–Я их никуда не вводил. Я просто доказал, что два равно одному.
– Каким образом вы это доказали?
Учитель взял лист бумаги и в течение минуты повторил злосчастную теорему. Под конец он лихо сократил обе части уравнения на “бэ”, написал 2 = 1 и, не моргнув глазом, подчеркнул эту непристойность. Три юриста и две секретарши тщательно переписали бесстыжие выкладки учителя. Воцарилось тяжёлое молчание.
– Это шутка, – сказал учитель. – Это, как бы, упражнение. В моём доказательстве содержится ошибка, которую ученики должны были найти.
Адвокаты молчали, не глядя друг на друга.
– Я могу объяснить, в чём она заключается, – заискивающе сказал учитель.
– Не надо, – сказал мистер Дворкин. – Ученики задавали вам вопросы?
– Да. Гойскер спросил, откуда я знаю, что “а” равно “бэ”.
– Что вы на это ответили?
– Что это моё предположение.
– Так. На чём оно было основано?
– Что – “оно”?
– Ваше предположение. Какие у вас были основания предполагать, что “а” равно “бэ”?
Учитель с мольбой посмотрел на директора. Директор отвернулся к окну и стал глядеть во двор, откуда неслись счастливые вопли отличников, играющих в софтбол.
– Продолжим, – сказал мистер Дворкин. – Как отреагировали ученики на ваше безосновательное предположение, за которым, как и ожидалось, последовало ошибочное доказательство?
– Рабунский сказал: предположим, что директора на завуча положим.
Директор заёрзал на стуле и сказал:
– Мои отношения с миссис Лифшиц являются чисто деловыми и основываются исключительно на интересах школы и её учащихся. Высокое качество образования, которое...
– Хорошо, – сказал мистер Дворкин. – Что ещё говорили ученики?
– Ещё Рабунский сказал, что Линда Брехман любит сумму членов Алана и Боба.
Две секретарши ниже склонились к своим блокнотам.
– Понятно, – сказал мистер Дворкин. – Реакция класса показывает, что дети были травмированы вашим безответственным доказательством. Родители учеников рассказали, что в этот день дети пришли из школы в подавленном состоянии, бледные, весь вечер плохо ели и долго не ложились спать. Многим родителям пришлось обратиться к помощи психологов и психиатров. Что вы можете на это сказать, мистер Зайтлайн?
– Что они врут, – вяло сказал учитель.
– Борис, ты с ума сошёл – сказал директор по-русски. И перейдя на английский, добавил: – Мистер Зайтлайн хотел сказать, что ученики побледнели оттого, что напряжённо думали над задачей, которую он им предложил с целью повышения их уровня знаний математики.
Мистер Дворкин хотел открыть рот, но его неожиданно перебил до сих пор молчавший мистер Соркин.
– В чём была ошибка? – спросил он, не проявляя эмоций.
– В том, – сказал учитель, заметно оживляясь, – что в шестой строчке мы сокращаем обе части уравнения на ”а” минус “бэ”, что, по определению, равно нулю. А на ноль делить нельзя. Ученики должны это знать.
– Что значит “нельзя”? – Мистер Дворкин снова взял дело в свои руки. – Мистер Зайтлайн, мы живём в свободной стране.
– Понимаете, – сказал учитель, – есть закон, не позволяющий делить на ноль. А то получится бесконечность или вообще чёрт знает что.
– Закон? – переспросил мистер Дворкин. – Это закон штатный или федеральный? Он принят конгрессом? Вы знаете его номер и дату вступления в силу?
– Нет, но…
– Мистер Зайтлайн, – снисходительно сказал мистер Дворкин. – Можете не объяснять. Мы с мистером Оркиным и мистером Соркиным разбираемся в законах.
На этом интервью закончилось. Мистеры Оркин, Соркин и Дворкин с двумя секретаршами покинули кабинет. Директор сказал:
– Борис, ты понимаешь, что ты наделал?
– Я могу покаяться, если надо, – сказал учитель – Хочешь, я публично признаю, что два не равно одному?
– Теперь уже не поможет.
Через два дня в “Нью-Йорк Таймс” появилась статья под названием “Проблемы нашей системы образования – наследие Республиканцев”. Статья была посвящена инциденту в бруклинской математической школе. “Злосчастный эпизод, произошедший в Бруклине, – говорилось в статье, – является прямым результатом недостаточного финансирования наших школ в период администрации Буша. Если бы сегодня каждая школьная парта была оборудована современным компьютером с доступом к высокоскоростному интернету, ученики могли бы сами убедиться в том, что на самом деле два не равно одному”.
Учителя уволили, и о нём больше никто не вспоминал. Говорили, что он запил и пошёл в частную женскую школу преподавать бокс. Тем временем, буря не стихала. Фирма “Оркин, Соркин и Дворкин” от имени родителей травмированных учеников возбудила гражданский иск против школы на сумму шесть миллионов долларов. После долгих переговоров с адвокатом школы стороны решили не доводить дело до суда и согласились на сумму в два миллиона. Из них полтора миллиона наличными причитались фирме “Оркин, Соркин и Дворкин” и полмиллиона – истцам, то есть родителям пострадавших учеников – в виде купонов на десятипроцентную скидку в местных супермаркетах.
Директор школы пригласил родителей на собрание.
– Дамы и господа, – сказал он, – поздравляю вас с успешным завершением иска против школы. Ваша победа в этом процессе ещё раз подтверждает справедливость нашей системы правосудия. К сожалению, школа не располагает бюджетом, который позволил бы нам выплатить два миллиона долларов. Мы вынуждены будем объявить банкротство, закрыть школу и уволить учителей. Однако, если вы хотите, чтобы ваш ребёнок продолжал получать образование в нашей школе, вы можете взять на себя оплату иска, что составит восемьдесят тысяч долларов на каждую семью. Вопросы есть?
– Есть, – сказал мистер Брехман, – Нельзя ли разделить сумму иска пополам, с тем, чтобы один миллион оплатили родители и один – школа?
– Боюсь, что нет. – Директор вздохнул. – Один миллион для школы так же недостижим, как два миллиона. Как видите, в данном случае два таки равно одному. Ещё раз поздравляю с победой!
Аплодисментов не последовало.
