Думаю что такие организации должны быть, но есть ли смысл туда обращаться. У вас же наверняка есть знакомые, кто хорошо водит автомобиль. Можно ведь с кем-то договориться. Обязательно найдутся люди, которые захотят вам помочь.

По поводу ответственности - это Вы точно сказали. Я тоже считаю что близких или друзей не стоит привлекать к такому занятию. Мало ли какая ситуация может случиться. У меня недавно жена получила права, но она не хотела, отчаянно сопротивлялась. Выхода у нее нет, так как я часто по работе в командировки отлучаюсь. А детей надо в школу, в садик и на дополнительные занятия отвозить. Так я тоже решил ей инструктора подыскать. Нашел компанию, но пока еще не обращался. Вот здесь можете посмотреть услуги инструктора по вождению, в Москве http://avtoinstruktor199.ru/ Может и Вас такой вариант устроит.